�@公共財の最適供給問題について、家計Bがすでに効用を最大化して効用水準がU_B^*に達していて、この水準U_B^*を維持しつつ、家計Aの効用を最大化すればよい。そこで、家計Aの効用最大化問題を考える。
　　　max　U_A(x_A, G)＝５x_AG
　　　　subject to　３x_BG＝U_B^*,
　　　　　　　　　　　x−８G＝０,
　　　　　　　　　　　x_A＋x_B＋x＝９６０
について、ラグランジュ乗数法で解く（ラグランジュ関数をＬとする）
　　　Ｌ＝５x_AG＋l₁{３x_BG−U_B^*}＋l₂{x_A＋x_B＋x−９６０}＋l₃{x−８G}
この１階条件より、
　　　　x_A＋x_B＝８G
となり、サミュエルソンの公式が得られる。この式とx_A＋x_B＋８G＝９６０より、
　　　８G＋８G＝９６０
　よって、この下での公共財供給量は
　　　G＝６０
となる。

�A公共財の自発的供給問題（ナッシュ均衡）については以下のように解く。家計Aの公共財供給量をT_A、家計Bの公共財供給量をT_Bとする。このとき、T_A＋T_B＝Gの関係が成り立っている。そこでまず家計Aの効用最大化問題（T_Bを所与として）、
　　　max　U_A(x_A, G)＝５x_AG
　　　　subject to　x_A＋８T_A＝３６０,
　　　　　　　　　　　T_A＋T_B^*＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝５x_A(T_A＋T_B^*)＋l₁(３６０−x_A−８T_A)とする。
　次に、家計Bの効用最大化問題（T_Aを所与として）、
　　　max　U_B(x_B, G)＝３x_BG
　　　　subject to　x_B＋８T_B＝６００
　　　　　　　　　　　T_A^*＋T_B＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝３x_B(T_A^*＋T_B)＋l₂(６００−x_B−８T_B)とする。
　これらを解くと、それらの１階条件から
　　　　x_A　　　　　 x_B

　　　────＝────＝８

　　　 T_A＋T_B　　　T_A＋T_B
となる。上式と予算制約式より
　　　x_A＝３６０−８T_A,
　　　x_B＝６００−８T_B
となる。したがって、ナッシュ反応関数は
　　　T_A＝４５／２−T_B／２,
　　　T_B＝７５／２−T_A／２
となる。このとき、ナッシュ均衡点では、T_A＝５, T_B＝３５となる。よって、この下での公共財供給量は
　　　G＝４０
となる。

�B公共財の自発的供給問題（ナッシュ均衡）については以下のように解く。家計Aの公共財供給量をT_A、家計Bの公共財供給量をT_Bとする。このとき、T_A＋T_B＝Gの関係が成り立っている。政府による所得再分配政策により、家計A、家計Bともに所得は４８０となった。そこで家計Aの効用最大化問題（T_Bを所与として）、
　　　max　U_A(x_A, G)＝５x_AG
　　　　subject to　x_A＋８T_A＝４８０
　　　　　　　　　　　T_A＋T_B^*＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝５x_A(T_A＋T_B^*)＋l₁(４８０−x_A−８T_A)とする。
　次に、家計Bの効用最大化問題（T_Aを所与として）、
　　　max　U_B(x_B, G)＝３x_BG
　　　　subject to　x_B＋８T_B＝４８０
　　　　　　　　　　　T_A^*＋T_B＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝３x_B(T_A^*＋T_B)＋l₂(４８０−x_B−８T_B)とする。
　これらを解くと、それらの１階条件から
　　　　x_A　　　　　 x_B

　　　────＝────＝８

　　　 T_A＋T_B　　　T_A＋T_B
となる。したがって、ナッシュ反応関数は
　　　T_A＝３０−T_B／２,
　　　T_B＝３０−T_A／２
となる。このとき、ナッシュ均衡点では、T_A＝T_B＝２０となる。よって、この下での公共財供給量は
　　　G＝４０
となる。

�C�T：同じである、�U：ナッシュ、�V：ない

�D政府による公共財供給問題（リンダール均衡）については以下のように解く。h_Aとh_Bの関係はh_A＋h_B＝１である。そこでまず家計Aの効用最大化問題（h_Aを所与として）、
　　　max　U_A(x_A, G)＝５x_AG
　　　　subject to　x_A＋８h_AG＝３６０
について、ラグランジュ関数をＬ＝５x_AG＋l₁(３６０−x_A−８h_AG)とする。
　次に、家計Bの効用最大化問題（h_Bを所与として）、
　　　max　U_B(x_B, G)＝３x_BG
　　　　subject to　x_B＋８h_BG＝６００
について、ラグランジュ関数をＬ＝３x_BG＋l₂(６００−x_B−８h_BG)とする。
　これらの１階条件から、
　　 x_A　　　　　　　 x_B

　　　──＝８h_A,　　──＝８h_B

　　　　G　　　　　　　　G
となる。上式と予算制約式から、
　　　２h_AG＝４５, ２h_BG＝７５
が得られる。このとき、２(h_A＋h_B)G＝１２０であり、h_A＋h_B＝１だから、この下での公共財供給量はG＝６０となる。
　よって、
　　　h_A＝３／８(＝４５／１２０),
　　　h_B＝５／８(＝７５／１２０)
となる。